I Functions and Graphs

模块 I：函数与图像

对应考纲 Section 1: MM1.7, MM8.1-MM8.7 对应 Paper: P1 基础题型 + P2 推理题型（22/320 题） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 15-20 题

📋 模块概览

小节	内容	对应考纲	历年真题频率	课时
I1	函数定义与性质	MM1.7	6 年 6 次	0.5
I2	常见函数图像	MM8.1, MM8.3-MM8.4	8 年 12 次	0.5
I3	图像变换	MM8.2	8 年 8 次	0.5
I4	导数与函数形状	MM8.5	8 年 10 次	0.3
I5	方程根的个数	MM8.6-MM8.7	8 年 8 次	0.2

I1 函数定义与性质 [MM1.7]

1.1 函数的本质

函数是一种映射关系：每个输入 $x$ 对应唯一的输出 $y$ 。

$y = f(x)$

关键理解：函数是多对一或一对一的映射，不是一对多。同一个 $x$ 不能对应不同的 $y$ 值。

⚠️ 常见误解：学生常认为函数必须是一对一的（如线性函数），但实际上多对一也是合法的（如 $y = x^2$ ， $x = 2$ 和 $x = -2$ 都对应 $y = 4$ ）。

1.2 常见函数性质

函数类型	定义域	单调性	特殊性质
$y = \sqrt{x}$	$x \geq 0$	严格递增	正平方根， $y \geq 0$
$y =	x	$	全实数
$y = x^n$ （奇数 $n$ ）	全实数	严格递增	过原点，关于原点对称
$y = x^n$ （偶数 $n$ ）	全实数	$x<0$ 递减， $x>0$ 递增	过原点，关于 $y$ 轴对称

1.3 函数的单调性与不等式

若函数 $f$ 在整个实数域上严格单调递增，则：

$f(x) < f(y) \iff x < y$

这是判断不等式能否推出大小关系的关键依据 [2016 P2 Q10]。

应用场景：给定 $f(x) < f(y)$ ，问能否推出 $x < y$ ？只需检查 $f$ 是否在 $\mathbb{R}$ 上严格递增。

I2 常见函数图像 [MM8.1, MM8.3-MM8.4]

2.1 六种核心图像

TMUA 考纲要求识别并能够绘制的函数图像：

函数类型	图像特征	关键点	TMUA 重点
线性函数 $y = mx + c$	直线	斜率 $m$ ， $y$ -截距 $c$	MM8.3
二次函数 $y = a(x+b)^2+c$	抛物线	顶点 $(-b, c)$ ，开口方向由 $a$ 决定	MM8.4
三次函数 $y = x^3$	S 形曲线	过原点，单调递增	MM8.1
指数函数 $y = a^x$	渐近上升	过 $(0,1)$ ，当 $a>1$ 时递增	MM8.1
对数函数 $y = \log_a x$	渐近曲线	过 $(1,0)$ ，当 $a>1$ 时递增	MM8.1
绝对值函数 $y =	x	$	V 形

2.2 二次函数的参数影响 [MM8.4]

标准形式： $y = a(x+b)^2 + c$

$a$ ：控制开口方向和宽度
- $a > 0$ ：开口向上
- $a < 0$ ：开口向下
- $|a|$ 越大，开口越窄（曲线越陡峭）
$b$ ：控制顶点横坐标（顶点在 $x = -b$ ）
$c$ ：控制顶点纵坐标（顶点在 $y = c$ ）

⚡ 快速配方口诀：对于 $y = x^2 + px + q$ ，配方后顶点为 $\left(-\frac{p}{2}, q - \frac{p^2}{4}\right)$ 。

I3 图像变换 [MM8.2]

3.1 四种基本变换

设原函数为 $y = f(x)$ ，四种变换及效果：

变换	表达式	效果	⚠️ 易错点
纵向拉伸	$y = af(x)$	纵坐标乘以 $a$	$a<0$ 会上下翻转
上移	$y = f(x) + a$	整体上移 $a$ 单位	正值上移，负值下移
横向平移	$y = f(x + a)$	左移 $a$ 单位	符号相反： $+a$ 向左， $-a$ 向右
横向拉伸	$y = f(ax)$	水平压缩为 $\frac{1}{a}$	与纵向拉伸方向相反

3.2 变换顺序与复合 [MM8.2]

当多个变换叠加时，顺序很重要：

$y = 2f(x+3)$

步骤：

先平移： $f(x) \to f(x+3)$ （左移 3 单位）
再拉伸： $f(x+3) \to 2f(x+3)$ （纵向拉伸 2 倍）

⚡ 速解口诀：

平移写在括号内：左加右减（与直觉相反）
拉伸写在括号外：上下拉伸正常，左右拉伸反向

3.3 对数函数的特殊变换 [2017 P1 Q18]

对数函数有独特性质：上下平移等价于左右伸缩

$y = \log_{10}x + k = \log_{10}(10^k \cdot x)$

这意味着：

上移 $k$ 单位 $\Leftrightarrow$ 水平拉伸 $10^k$ 倍

应用：若题目问”上移 2 单位等价于水平拉伸多少”，直接计算 $k = 10^2 = 100$ ，所以拉伸因子为 $\frac{1}{100}$ （压缩）。

I4 导数与函数形状 [MM8.5]

4.1 导数的几何意义

导数 $f'(x)$ 是切线斜率，决定了函数的增减趋势：

导数符号	函数行为	图像特征
$f'(x) > 0$	严格递增	曲线上升
$f'(x) < 0$	严格递减	曲线下降
$f'(x) = 0$	驻点（极值点）	顶点或转折点

4.2 驻点与极值

驻点判断三步法 [MM8.5]：

求导数： $f'(x) = \cdots$
找驻点：令 $f'(x) = 0$ ，解出 $x$ 值
判类型：
- $f'(x)$ 从正变负 → 极大值
- $f'(x)$ 从负变正 → 极小值
- 或用二阶导数： $f''(x) < 0$ 为极大， $f''(x) > 0$ 为极小

4.3 利用导数判断根的个数

核心思想：函数的极值点决定了图像的”起伏”，进而决定了与水平线交点的可能个数 [2016 P1 Q13]。

例如，三次函数：

若有两个驻点（极大+极小），最多可与水平线有 3 个交点
若极小值 $< 0$ 且极大值 $> 0$ ，则方程 $f(x) = 0$ 必有 3 个实根

I5 方程根的个数 [MM8.6-MM8.7]

5.1 代数解与图像交点

方程 $f(x) = g(x)$ 的解 = 曲线 $y = f(x)$ 与 $y = g(x)$ 的交点横坐标。

几何解释：

$f(x) = k$ 的解 = $y = f(x)$ 与水平线 $y = k$ 的交点数
$f(x) = g(x)$ 的解 = 两函数图像的交点数

5.2 多项式根的个数判定

多项式次数	最大实根个数	TMUA 常见题型
一次（线性）	1 个	单交点
二次	2 个	判别式、配方
三次	3 个	导数分析极值位置
四次	4 个	W 形曲线分析 [2016 P2 Q14]

5.3 指数与对数方程

指数方程： $2^x = mx + c$ 的解 = 指数曲线与直线的交点 [2018 P2 Q11]

关键观察：

$y = 2^x$ 严格递增，凸函数
直线斜率 $m < 0$ 时最多 1 个交点
直线斜率 $m > 0$ 时可能 0、1 或 2 个交点（取决于截距 $c$ ）

⚡ 速解技巧汇总

场景	技巧
判断 $f(x) < f(y)$ 能否推出 $x < y$	检查 $f$ 是否在 $\mathbb{R}$ 上严格递增（排除偶函数、有间断的函数）
二次函数顶点快速求	一次项系数除以 $-2$ 为横坐标，代入得纵坐标
水平平移方向	括号内：左加右减（与直觉相反！）
对数函数上移 $\Leftrightarrow$ 水平伸缩	上移 $k$ = 水平压缩 $10^{-k}$ （底数为 10 时）
判断三次方程根数	求导找极值，检查极小值是否 $< 0$ 、极大值是否 $> 0$
四次函数交点数变化	W 形曲线：水平线从下往上，交点数呈 $1 \to 2 \to 4 \to 3 \to 1$ 模式

⚠️ 易错警示

❌ 水平平移中， $y = f(x + 3)$ 是左移 3 单位，不是右移——括号内符号与移动方向相反
❌ 判断单调性时，偶函数（如 $x^2$ 、 $x^4$ ）不是整体单调的，只在 $x > 0$ 或 $x < 0$ 分别单调
❌ $f(a - x) = f(x)$ 表示对称轴是 $x = \frac{a}{2}$ ，不是 $x = a$ [2018 P2 Q10]
❌ 三次函数不一定有 3 个实根——若极值同号（都在轴上方或下方），可能只有 1 个根
❌ 指数函数 $y = a^x$ 过 $(0, 1)$ ，不是过原点——当 $x = 0$ 时 $y = 1$

📝 精选例题

例题 1（2016 P2 Q10 · 函数单调性与不等式）

题目： $x$ 和 $y$ 为非零实数。哪个条件足以推出 $x < y$ ？

选项：

A: $x^4 < y^4$
B: $y^4 < x^4$
C: $x^{-1} < y^{-1}$
D: $y^{-1} < x^{-1}$
E: $x^{\frac{3}{5}} < y^{\frac{3}{5}}$

【题目分析】核心问题是：给定 $f(x) < f(y)$ ，能否反推 $x < y$ ？这取决于函数 $f$ 是否在整个实数域上严格单调递增。

【解题步骤】逐一检查各选项中的函数单调性：

选项 A/B： $f(t) = t^4$ 。偶函数，在 $t < 0$ 递减、 $t > 0$ 递增，整体非单调。反例： $x = 1$ ， $y = -2$ ， $x^4 = 1 < 16 = y^4$ ，但 $x > y$ 。不充分。

选项 C/D： $f(t) = t^{-1}$ 。在正负两支分别递减，但整体非单调。反例： $x = 2$ ， $y = 1$ ， $x^{-1} = 0.5 < 1 = y^{-1}$ ，但 $x > y$ 。不充分。

选项 E： $f(t) = t^{3/5} = \sqrt[5]{t^3}$ 。 $t^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增， $\sqrt[5]{\cdot}$ 也在 $\mathbb{R}$ 上严格递增，复合后整体严格递增。因此 $x^{3/5} < y^{3/5} \Leftrightarrow x < y$ 。充分。

【快捷思路】检查函数是否为偶函数（偶函数一定不是整体单调），或是否有间断点。只有 $t^{3/5}$ 在全实数域严格递增。

【正确答案】E

【知识点】Functions | 考纲: MM1.7

例题 2（2017 P1 Q18 · 对数函数变换）

题目： $y = \log_{10}x$ 向上平移 2 单位，该变换等价于沿 $x$ 轴拉伸因子 $k$ 。求 $k$ 值。

【题目分析】对数函数有特殊性质：上下平移可以转化为水平方向的伸缩。这是因为 $\log a + \log b = \log(ab)$ 。

【解题步骤】向上平移 2 单位后： $y = \log_{10}x + 2 = \log_{10}x + \log_{10}100 = \log_{10}(100x)$

沿 $x$ 轴拉伸因子 $k$ 后： $y = \log_{10}\left(\frac{x}{k}\right) = \log_{10}x - \log_{10}k$

令两式恒等： $\log_{10}x + 2 = \log_{10}x - \log_{10}k$ $2 = -\log_{10}k$ $\log_{10}k = -2$ $k = 10^{-2} = 0.01$

【快捷思路】取特殊点：原函数过 $(1, 0)$ 。平移后过 $(1, 2)$ 。要使拉伸后的函数也过 $(1, 2)$ ，需原函数在 $x = \frac{1}{k}$ 处值为 $2$ ，即 $\log_{10}\frac{1}{k} = 2$ ，得 $k = 0.01$ 。

【正确答案】A（ $k = 0.01$ ）

【知识点】Functions, Graphs | 考纲: MM8.2

例题 3（2018 P2 Q10 · 对称性的代数表达）

题目：判断三个条件哪些是图像 $y = f(x)$ 关于直线 $x = a$ 对称的充要条件：

I: $f(a - x) = f(a + x)$
II: $f(2a - x) = f(x)$
III: $f(a - x) = f(x)$

【题目分析】核心是理解对称性的代数定义：关于 $x = a$ 对称意味着以 $a$ 为中心、等距的两点函数值相等。

【解题步骤】 条件 I： $a - x$ 与 $a + x$ 的中点为 $a$ ，两点到 $x = a$ 的距离均为 $|x|$ 。这正是对称性的直接定义，充要条件。

条件 II： $2a - x$ 与 $x$ 的中点为 $\frac{2a - x + x}{2} = a$ ，同样关于 $x = a$ 对称。做变量代换：令 $t = a - x$ ，则 $2a - x = a + t$ ， $f(2a - x) = f(x)$ 变为 $f(a + t) = f(a - t)$ ，与条件 I 等价。充要条件。

条件 III： $a - x$ 与 $x$ 的中点为 $\frac{a}{2}$ ，这是关于 $x = \frac{a}{2}$ 的对称性，不是 $x = a$ 。反例：取 $f(x) = (x - a)^2$ ，关于 $x = a$ 对称，但 $f(a - x) = x^2$ 与 $f(x) = (x - a)^2$ 不相等。不是充要条件。

【快捷思路】判断对称轴时，关键看两个自变量的中点： $a - x$ 与 $a + x$ 中点为 $a$ （正确）； $2a - x$ 与 $x$ 中点为 $a$ （正确）； $a - x$ 与 $x$ 中点为 $\frac{a}{2}$ （错误）。

【正确答案】B（I 和 II 是充要条件）

【知识点】Functions, Graphs | 考纲: MM8.1, MM8.7

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

#	题号	考点	对应考纲	难度
1	2016 P2 Q14	四次函数根数	MM8.6, MM8.7	⭐⭐⭐
2	2017 P2 Q7	指数函数图像	MM8.1, MM8.2	⭐⭐⭐
3	2017 P2 Q14	二次函数变换	MM8.4	⭐⭐⭐
4	2018 P1 Q5	余数定理	MM1.7	⭐⭐⭐
5	2018 P2 Q11	指数方程根数	MM8.7	⭐⭐⭐
6	2018 P2 Q15	三次函数变换	MM8.5	⭐⭐⭐
7	2019 P1 Q11	对数方程	MM1.7	⭐⭐⭐
8	2022 P1 Q9	函数性质	MM1.7	⭐⭐⭐

完整解析见题库数据库，每题均含【解题步骤】与【快捷思路】。

📚 考纲映射速查

考纲号	内容	对应小节
MM1.7	函数定义与性质（多对一映射、 $\sqrt{x}$ 、$	x
MM8.1	常见函数图像识别与绘制	I2
MM8.2	图像变换（平移、拉伸、复合）	I3
MM8.3	线性函数参数影响（ $m$ 、 $c$ ）	I2
MM8.4	二次函数参数影响（ $a$ 、 $b$ 、 $c$ ）	I2
MM8.5	导数与函数形状（驻点、增减区间）	I4
MM8.6	方程根的个数（坐标轴交点）	I5
MM8.7	图像交点与方程解的对应	I5

模块 I 讲义完成 | 共 22 题 | 建议课时：2 小时