G Integration

模块 G：积分

对应考纲 Section 1: MM7.1, MM7.2, MM7.3, MM7.4, MM7.5, MM7.6 对应 Paper: P1 重点（27/320 题），P2 涉及（逻辑推理型积分题） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 15-20 题

📋 模块概览

小节	内容	对应考纲	历年真题频率	课时
G1	定积分与面积	MM7.1, MM7.4	8 年 15 次	0.5
G2	幂函数积分	MM7.2, MM7.3	8 年 18 次	1
G3	梯形法则与微分方程	MM7.5, MM7.6	8 年 8 次	0.5

G1 定积分与面积 [MM7.1, MM7.4]

1.1 定积分的几何意义

定积分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 表示曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴之间区域的有向面积：

当 $f(x) > 0$ 时，积分值为正（面积在 $x$ 轴上方）
当 $f(x) < 0$ 时，积分值为负（面积在 $x$ 轴下方）

⚠️ 面积与积分的区别：求面积时，若曲线在 $x$ 轴下方，需要取绝对值： $\text{Area} = \int_a^b |f(x)|\,dx$

这与直接计算 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 可能不同！

1.2 曲线间面积

两条曲线 $y = f(x)$ （上曲线）与 $y = g(x)$ （下曲线）围成的面积：

$\text{Area} = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$

关键步骤：

求交点（解方程 $f(x) = g(x)$ ），确定积分区间 $[a, b]$
判断哪条曲线在上方（在区间内选取测试点）
上曲线减下曲线，积分

1.3 积分的合并 [MM7.4]

同区间合并： $\int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx = \int_a^b [f(x) + g(x)]\,dx$

相邻区间合并： $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$

反向积分： $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$

⚡ 应用技巧：题目中若给出 $\displaystyle\int_0^q f(x)\,dx$ 和 $\displaystyle\int_p^r f(x)\,dx$ ，可利用合并性质求其他区间的积分值，无需重复计算。

G2 幂函数积分 [MM7.2, MM7.3]

2.1 基本积分公式

幂函数积分（ $n \neq -1$ ）： $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

⚠️ 注意：

当 $n = -1$ 时， $\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ （TMUA 不涉及）
负指数积分后符号变化： $\displaystyle\int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C$

2.2 积分前先化简

很多题目需要先展开再积分：

例： $\displaystyle\int (x + 2)^2\,dx$ 先展开： $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ 再积分： $\displaystyle\int (x^2 + 4x + 4)\,dx = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x + C$

例： $\displaystyle\int \frac{(3x - 5)^2}{x^{1/2}}\,dx$ 先展开分子： $(3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25$ 除以 $x^{1/2}$ ： $9x^{3/2} - 30x^{1/2} + 25x^{-1/2}$ 再积分： $9 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} - 30 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + 25 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2}$ $= \frac{18}{5}x^{5/2} - 20x^{3/2} + 50x^{1/2} + C$

2.3 微积分基本定理 [MM7.3]

第一形式： $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ 其中 $F'(x) = f(x)$ ，即 $F$ 是 $f$ 的原函数。

第二形式： $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$

应用场景：

若已知 $\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ 的表达式，对 $x$ 求导可得 $f(x)$
原函数与导数互逆关系，用于综合题（如 2022 P1 Q3）

G3 梯形法则与微分方程 [MM7.5, MM7.6]

3.1 梯形法则

用 $n$ 个等宽梯形近似积分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ ：

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[y_0 + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1}) + y_n\right]$

其中 $h = \frac{b - a}{n}$ ， $y_i = f(x_i)$ 。

高估与低估判断：

曲线向上凸（如 $\sin^2 x$ 在上升段）→ 梯形法则高估
曲线向下凸（如 $\cos^2 x$ 在上升段）→ 梯形法则低估

⚡ 快速判断口诀：曲线弯向哪里，梯形面积就偏大。

3.2 微分方程求解 [MM7.6]

形式 $\displaystyle\frac{dy}{dx} = f(x)$ 的微分方程：

解题步骤：

两边积分： $y = \int f(x)\,dx + C$
利用初始条件（如 $x = 1$ 时 $y = 5$ ）确定 $C$
写出 $y$ 的完整表达式

⚠️ 易错点：

被积函数中的分式项，先写成幂的形式再积分
积分后常数项 $C$ 不要漏掉
代入初始条件前，先化简表达式

三种典型题型与解题策略

题型 A：积分计算（化简 + 逐项积分）

识别特征：被积函数含括号、分式，需要先展开

解题策略：

展开括号或拆分分式
转化为幂的形式 $x^n$
逐项积分，合并结果

例题特征：

$\displaystyle\int (x^2 - \frac{4}{x^2})^2\,dx$ （2016 P2 Q1）
$\displaystyle\int \frac{3 - 2x}{x\sqrt{x}}\,dx$ （2018 P1 Q1）

题型 B：面积问题（求交点 + 上减下）

识别特征：求曲线与轴或两条曲线围成的面积

解题策略：

求交点确定积分区间
判断上/下曲线（或判断曲线在轴上方/下方）
上减下积分，注意取绝对值

例题特征：

$y = x^2 - 1$ 与 $x$ 轴围成面积（2016 P1 Q5）
$y = p\sqrt{x}$ 与 $x = p\sqrt{y}$ 围成面积（2019 P1 Q9）

题型 C：梯形法则误差分析

识别特征：判断梯形近似是高估还是低估

解题策略：

分析曲线凹凸性（向上凸还是向下凸）
利用对称性（偶函数反射不改变误差方向）
利用互补关系（ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ）

⚡ 速解技巧汇总

场景	技巧
分式积分	先写成幂 $x^{-n}$ ，再套公式
括号内积分	展开！不要直接积分 $(x+2)^2$
负指数积分	答案符号会变： $x^{-2} \to -x^{-1}$
面积问题	画草图判断上/下曲线
梯形误差	曲线弯向哪里，梯形偏大
微分方程	先积分，再用初始条件定常数

⚠️ 易错警示

❌ 积分公式是 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ ，不是 $nx^{n-1}$ （那是导数公式）
❌ $\displaystyle\int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C$ ，不是 $x^{-1} + C$ （负指数符号变化）
❌ 求面积时直接积分，忘记取绝对值（当曲线在轴下方）
❌ 微分方程求解时，漏掉积分常数 $C$
❌ 梯形法则公式中，中间项系数是 2，首尾项系数是 1

📝 精选例题

例题 1（2017 P1 Q1 · 微分方程求解）

题目：已知

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - \frac{2-3x}{x^3}, \quad x \neq 0$

且 $x = 1$ 时 $y = 5$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的表达式。

【题目分析】本题考点为积分求原函数。已知导数表达式，需要对各项分别积分，再利用初始条件确定积分常数。

【解题步骤】第一步：化简被积函数。将分式项写成幂的形式： $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - \frac{2-3x}{x^3} = 3x^2 - \frac{2}{x^3} + \frac{3x}{x^3} = 3x^2 - 2x^{-3} + 3x^{-2}$

第二步：逐项积分。利用幂函数积分公式： $y = \int (3x^2 - 2x^{-3} + 3x^{-2})\,dx = x^3 + x^{-2} - 3x^{-1} + C$

第三步：代入初始条件。当 $x = 1$ 时 $y = 5$ ： $5 = 1^3 + 1^{-2} - 3 \cdot 1^{-1} + C = 1 + 1 - 3 + C = -1 + C$ 解得 $C = 6$ 。

因此 $y = x^3 + x^{-2} - 3x^{-1} + 6$ 。

【快捷思路】逐项积分后代入 $x = 1$ 即可求出常数项。注意 $(2-3x)/x^3$ 的符号拆分容易出错，写成幂的形式再积分更稳妥。

【正确答案】C

【知识点】Integration | 考纲: MM7.2, MM7.6

例题 2（2019 P1 Q9 · 曲线间面积）

题目： $p$ 为正常数。求曲线 $y = p\sqrt{x}$ 和 $x = p\sqrt{y}$ 围成的面积。

【题目分析】两条曲线互为反函数形式，图形关于 $y = x$ 对称。求交点确定积分区间后，用上曲线减下曲线积分。

【解题步骤】第一步：写出两条曲线的显式形式。由 $y = p\sqrt{x}$ 得 $y^2 = p^2 x$ ，即 $x = \frac{y^2}{p^2}$ 。由 $x = p\sqrt{y}$ 得 $x^2 = p^2 y$ ，即 $y = \frac{x^2}{p^2}$ 。

第二步：求交点。代入得 $\frac{y^2}{p^2} = p\sqrt{y}$ ，即 $y^4 = p^6 y$ 。 $y(y^3 - p^6) = 0$ ，解得 $y = 0$ 或 $y = p^2$ 。

当 $y = p^2$ 时： $x = p\sqrt{p^2} = p^2$ 。交点为 $(0, 0)$ 和 $(p^2, p^2)$ 。

第三步：积分求面积。在区间 $[0, p^2]$ 上， $y = p\sqrt{x}$ 在上， $y = \frac{x^2}{p^2}$ 在下。

$\text{Area} = \int_0^{p^2} \left(p\sqrt{x} - \frac{x^2}{p^2}\right)\,dx = \left[\frac{2}{3}px^{3/2} - \frac{x^3}{3p^2}\right]_0^{p^2}$

$= \frac{2}{3}p(p^2)^{3/2} - \frac{(p^2)^3}{3p^2} = \frac{2}{3}p^4 - \frac{p^4}{3} = \frac{p^4}{3}$

【快捷思路】两条曲线互为反函数，交点在 $y = x$ 上。直接代 $y = x$ 求 $x^2 = p^2 x$ 得 $x = p^2$ （舍去 $x = 0$ ）。利用对称性，面积 = $\displaystyle\int_0^{p^2}(p\sqrt{x} - \frac{x^2}{p^2})\,dx$ 。

【正确答案】D（ $\frac{p^4}{3}$ ）

【知识点】Integration | 考纲: MM7.1

例题 3（2019 P2 Q13 · 梯形法则误差分析）

题目：学生用 4 个小区间的梯形法则近似 $\displaystyle\int_a^b \sin^2 x\,dx$ ，结果为高估。

判断以下命题哪些必然成立：

I 若用同样方法近似 $\displaystyle\int_{-b}^{-a} \sin^2 x\,dx$ ，结果仍为高估。
II 若用同样方法近似 $\displaystyle\int_a^b \cos^2 x\,dx$ ，结果为低估。

【题目分析】考查梯形法则的误差分析与函数对称性。利用偶函数对称性和 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 的互补关系。

【解题步骤】命题 I： $\sin^2 x$ 是偶函数，图像关于 $y$ 轴对称。原区间 $[a, b]$ 上的梯形沿 $y$ 轴反射，恰好得到 $[-b, -a]$ 上的梯形。图形完全对称，误差方向不变。命题 I 成立。

命题 II：利用 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ， $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 。 $\cos^2 x$ 的图像是 $\sin^2 x$ 关于 $y = \frac{1}{2}$ 翻折。梯形面积之和等于矩形面积（高为 1），这是精确值。 $\sin^2 x$ 梯形近似高估 $\Rightarrow$ $\cos^2 x$ 梯形近似低估。命题 II 成立。

【快捷思路】偶函数反射不改变误差（命题 I）；互补关系 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ ：一个高估则另一个低估（命题 II）。

【正确答案】D（I 和 II 都成立）

【知识点】Integration | 考纲: MM7.5

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

#	题号	考点	对应考纲	难度
1	2016 P1 Q5	面积 + 分段积分	MM7.1	⭐⭐⭐
2	2016 P2 Q1	展开后积分	MM7.2	⭐⭐⭐
3	2018 P1 Q1	分式积分	MM7.2	⭐⭐⭐
4	2017 P1 Q12	积分性质判断	MM7.4	⭐⭐⭐
5	2017 P1 Q17	积分与求和	MM7.3, MM7.4	⭐⭐⭐⭐
6	2022 P1 Q3	微积分基本定理	MM7.3	⭐⭐⭐⭐
7	2022 P1 Q6	定积分 + 对数	MM7.2, MM5	⭐⭐⭐
8	2023 P1 Q1	积分合并 + 待定系数	MM7.4	⭐⭐⭐

完整解析见题库数据库，每题均含【解题步骤】与【快捷思路】。

讲义版本: v1.0 | 生成时间: 2026-04-29